Le brevet américain de Kent E. Erickson donne une très belle démonstration qui utilise la représentation de Poincaré :
Il s'agit d'un interféromètre à deux ondes inspiré
du montage de Michelson ; pour fixer les idées, le raisonnement
s'appuie sur le schéma ci-dessus :
La lumière incidente est polarisée linéairement
dans le plan de l'interféromètre par le polariseur d'entrée
(à gauche de la figure)..
Le faisceau de lumière est divisé en deux par le cube
séparateur ; la partie qui est réfléchie par l'objet
à mesurer ou contrôler revient sur le cube séparateur
avec une polarisation inchangée dans le plan de l'interféromètre
; la partie qui est réfléchie par le miroir de référence
est d'abord transformée en lumière circulaire gauche (pour
fixer les idées, ça dépend de l'orientation de l'axe
rapide du dispositif quart d'onde), puis en lumière circulaire droite
(respectivement gauche si elle était droite) par symétrie
miroir lors de de la réflexion puis en lumière polarisée
perpendiculaire au plan de l'interféromètre en retraversant
le dispositif quart d'onde.
En final, le cube séparateur recombine le faisceau polarisé
parallèle au plan de l'interféromètre qui provient
de l'objet et le faisceau polarisé perpendiculaire au plan de l'interféromètre
qui provient du miroir de référence ; cette recombinaison
cohérente produit une lumière polarisée elliptique
de grand axe à 45° ou 135° du plan de l'interféromètre
: dans la représentation sur la sphère
de Poincaré il s'agit d'une forme de lumière qui décrit
le méridien orthogonal aux vecteurs antiparallèles des directions
parallèles et perpendiculaires au plan de l'interféromètre
(en effet, les directions parallèles et perpendiculaires au plan
de l'interféromètre sont alignées (et opposées)
dans le plan équatorial de la représentation
de Poincaré).
L'aplatissement des ellipses résultantes dépend du déphasage
entre les deux composantes parallèle et perpendiculaire au plan
de l'interféromètre.
Ces ellipses de lumière sont transformées en lumière
linéaire par le dernier dispositif quart d'onde ; cette fois, la
direction de polarisation dépend du déphasage des deux composantes
parallèle et perpendiculaire au plan de l'interféromètre.
Dans la représentation de Poincaré,
le dispositif quart d'onde a simplement effectué une rotation de
90 degrés du méridien sur l'équateur autour de l'axe
de ses lignes neutres qui sont suivant un axe équatorial orthogonal
à l'axe formé des directions parallèles et perpendiculaires
au plan de l'interféromètre.
Ce déphasage, devenu orientation de polarisation, dépend
directement de la différence de chemin optique entre les deux bras
de l'interféromètre : une rotation de 180° de la polarisation
correspond à un déplacement d'une demi-longueur d'onde lumineuse
de l'objet.
En fait, dans son brevet, Kent E. Erickson
explique très élégamment, pour ne pas troubler ceux
qui auraient du mal à raisonner avec des polarisations elliptiques,
que les composantes parallèles et perpendiculaires au plan de l'interféromètre
qui sortent du cube séparateur sont tranformées par le deuxième
dispositif quart d'onde en polarisations circulaires opposées (droite
et gauche par exemple) : les deux formes lumières occupent les pôles
opposés de la sphère de Poincaré
et leur déphasage dépend de la différence de chemin
optique entre les deux bras de l'interféromètre ; la recombinaison
cohérente produit une lumière linéairement polarisée
dont l'orientation dépend de la différence de chemin optique
entre les deux bras de l'interféromètre.
On peut synthétiser très simplement le comportement de ce dispositif interférentiel en lumière polarisée : ce dispositif transforme la mesure de différences de chemin optique en mesure angulaire de direction de polarisation ; ce point est capital, car il explique simplement l'extrême précision des mesures ellipsométriques : en effet, les mécaniciens savent mesurer les angles avec des précisions dépassant le millième de degré, c'est à dire, dans le cas de cet interféromètre puisque 360° correspondent à une longueur d'onde (lambda, pour fixer les idées), la résolution est de lambda/360000 ; soit, pour une longueur d'onde lumineuse de 360 namètres, une résolution de 1 picomètre.
Une explication similaire permet de justifier la grande précision des mesures d'épaisseurs de couches minces par les ellipsomètres : quand on sait transformer une mesure de différence de chemin optique en mesure angulaire, la précision est surprenante : un angström d'épaisseur correspond en gros à une précision de 0,1 degré sur Psi et Delta dans le cas de la silice sur silicium à 632.8 nm.
D'autre part, il est à remarquer sur le plan fonctionnel que la partie analyse ellipsométrique pure correspond à l'association du dispositif quart d'onde et du polariseur orientable de sortie, c'est à dire au classique montage de Sénarmont.
Enfin, le titre du brevet "Laser Interferometer" cache bien son contenu
: le principe fonctionne en imagerie sous lumière blanche ; simplement,
pour les grandes différences de chemin optique on a intérêt
à disposer de trois longueurs d'ondes lumineuses cohérentes
premières entre elles (des lasers c'est ce qu'il a de mieux actuellement
comme source de lumière cohérente).
Pour ceux qui douteraient des possibilités d'imagerie en interférométrie
ellipsométrique la page suivante 
donne quelques images animées obtenues avec une machine d'hybridation
qui a permis d'explorer le picopositionnement.
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