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## II. Equations instrumentales

Il s'agit de donner des principes de description analytique des ellipsomètres : une notion de modèle analytique complet des systèmes optiques est dégagée dans le but d'offrir un outil de description efficace aux ingénieurs.
C'est l'approche "traitement du signal" des électroniciens qui prévaut : les composants optiques transforment la polarisation lumineuse, comme les composants électroniques modifient les signaux électriques. Cette approche systématique permet de modéliser simplement n'importe quel type d'ellipsomètre.
Après avoir décrit ce type d'ellipsomètre, la représentation de la lumière comme vecteur de Jones, ou vecteur de Stokes est sommairement rappelée, puis les matrices de Jones et matrices de Mueller sont décrites comme caractéristiques des éléments qui modifient la polarisation lumineuse ; la sphère de Poincaré est utilisée pour conforter les équations algébriques.
La notion de forme de lumière et la symétrie des matrices permettent d'introduire une notion duale de forme de détection. Enfin les équations complètes d'ellipsomètres sont exposées.

### II.1. Description de la lumière polarisée

La description la plus simple de la lumière polarisée est le vecteur de Jones ; les ondes lumineuses monochromatiques sont représentées par un vecteur colonne des deux amplitudes transversales du champ électrique.
Supposons une onde plane lumineuse de pulsation w et d'amplitude E0 ; la projection du champ électrique suivant deux directions p et s orthogonales à la direction de propagation est caractérisée par un angle Psi de rapport des amplitudes et un déphasage Delta des composantes ; le vecteur de Jones de la lumière s'écrit :
Il s'agit là de la représentation paramétrique bien connue des ellipses : l'extrémité du vecteur champ électrique d'une onde lumineuse monochromatique décrit toujours une ellipse ; dans ses formes extrêmes, cette ellipse peut être aplatie, l'onde est alors linéairement polarisée ou de projections égales déphasées du quart de la longueur d'onde lumineuse, elle est alors circulaire.

En fait, les ellipses de lumière sont également caractérisées par l'angle "alpha" de leur grand axe et l'aplatissement "lambda" du petit axe relativement au grand :
Des relations de trigonométrie sphérique relient Psi, Delta à Alpha et Lambda.

De fait, seules les intensités lumineuses sont directement mesurables, de sorte qu'il est préférable de rapporter les mesures d'états de polarisation à des mesures d'intensités lumineuses ; outre les matrices de cohérences, les paramètres de Stokes conviennent parfaitement pour représenter les états de polarisation en énergies lumineuses :

Où :

- S0 = EpEp* + EsEs* est l'intensité totale de la forme de lumière.
- S1 = EpEp* - EsEs* est la différence des intensités de polarisations linéaires suivant (p) et (s).
- S2 = E45E45* - E135E135* = EpEs* + EsEp*est la différence des intensités de polarisations linéaires à 45° et 135° de la direction (p).
- S3 = EcEc* - Ec'Ec'* = i(EsEp* - EpEs*) est la différence des intensités de polarisations circulaires gauche et droite.

De fait, S0 est la somme des intensités de lumière naturelle (i.e. non polarisée) S0nat et polarisée S0pol. Les composantes S1, S2 et S3 caractérisent complètement la forme de la partie polarisée. Toute lumière polarisée peut donc être représentée par un point dans l'espace euclidien tridimensionnel associé aux trois derniers paramètres de Stokes S1, S2 et S3 : cet espace est l'espace de Poincaré, par extension de la représentation des états de polarisation sur une sphère par Poincaré :

L'axe S1 représente les composantes polarisées suivant (p) et (s).
L'axe S2 représente les composantes polarisées à 45° et 135° de la direction (p).
L'ensemble des lumières linéairement polarisées est disposé dans le plan équatorial S1S2.
L'axe S3 représente les lumières circulairement polarisées : le pôle C est la lumière cirulaire gauche et le pôle C' la lumière circulaire droite. Tous les points hors du plan équatorial représentent des lumières elliptiques gauches pour l'hémisphère nord et droites pour l'hémisphère sud (ou inversement suivant les conventions de comptage des angles).

### II.2. Représentations matricielles des optiques

Les composants optiques courants ont une réponse linéaire élastique au passage de la lumière, c'est à dire sans changement de fréquence lumineuse et avec des spectres d'atténuation et de déphasage des composantes transversales ; ce comportement est très simplement décrit par des matrices de transformation des vecteurs de Jones ou de Stokes et s'appellent respectivement matrices de Jones ou de Mueller.
Les matrices de Jones sont simplement des matrices carrées 2x2 composées de 4 quantités complexes, c'est à dire 8 paramètres réels dont sept agissent sur la polarisation et le huitième sur la phase de l'onde lumineuse. Hurwitz et Jones ont démontré que ces matrices se décomposaient toujours en produit de matrices de trois types, à savoir, pouvoirs rotatoires (rotations), biréfringences et polarisations partielles (ou totales) :
Les matrices de rotation R et de biréfringence B s'écrivent :

L'équivalent matriciel pour exprimer les transformations des vecteurs de Stokes s'appelle matrices de Mueller ; les paramètres de Stokes caractérisant l'intensité de lumière polarisée, le terme de propagation correspondant à l'épaisseur optique du composant disparaît et il reste les sept autres quantités réelles identifiées dans le calcul de Jones :
Les rotations, biréfringences et polarisations partielles s'écrivent en matrices de Mueller :

Autant la polarisation et les polariseurs linéaires sont simples à comprendre, autant les polarisations circulaires et les biréfringents sont plus difficile à appréhender géométriquement et conceptuellement.

Une lame de biréfringence b et d'orientation T est caractérisée par deux lignes neutres correspondant à des vitesses différentes de propagation de la lumière, c'est à dire à des indices de réfraction différents :

Ainsi, une lame biréfringente quart d'onde (b=90°) d'axe rapide à 45° de la direction p (T=45°) a pour matrice :
Quelle est la signification physique des 16 quantités réelles des matrices de Mueller alors que 7 seulement agissent sur la polarisation lumineuse pour les composants optiques classiques aux comportements linéaires inertiels ? En fait, les 9 quantités réelles supplémentaires permettent d'intégrer les dépolarisations temporelles et spatiales propres à la lumière incidente ou à sa modification au cours de la traversée des éléments optiques ; le développement de ces aspects nécessiterait un exposé plus complet sur les statistiques spatio-temporelle des flux de photons en tant que variables aléatoires stationnaires et il faudrait en plus vérifier la redondance d'informations de la causalité avec les intégrales de Hilbert sur les parties réelles et imaginaires des réponses spectrales des spectres de matrices de Jones. Ces aspects théoriques fondamentaux dépassent le cadre modeste de la version 0.4 de ces pages.

### II.3. La photodétection

En réalité les détecteurs photosensibles n'enregistrent pratiquement que les intensités lumineuses ; ces intensités lumineuses sont des combinaisons linéaires des termes des matrices de cohérence ou mieux des paramètres de Stokes :
Dans l'hypothèse aléatoire stationnaire, l'analyse spectrale est la plus apropriée et la Densité Spectrale Energétique s'écrit comme combinaison linéaire des desnsités spectrales de Stokes de la lumière incidente :
i= f0s0+f1s1+f2s2+f3s3
Les paramètres f0, f1, f2 et f3 caractérisent la sensibilité spectrale de polarisation du photodétecteur ; ils ont les mêmes propriétés que les termes de la première ligne des matrices de Mueller spectrales et, plus encore, ils possèdent les caractéristiques ellipsométriques des formes de lumière.
L'ensemble des quatre paramètres f0, f1, f2 et f3 caractérisent un vecteur de détection dual du vecteur de Stokes. Tout vecteur de détection se décompose en une partie polarisée et une partie naturelle. A la partie polarisée des vecteurs de détection lumineuse est associée un point de l'Espace de Poincaré de la même façon que pour la partie polarisée des formes de lumière.
Soit un instrument polarimétrique quelconque avec une partie émettrice, une partie réceptrice et au milieu une partie à caractériser, son équation instrumentale s'écrit :

Cette équation est en fait symétrique, c'est à dire qu'on peut intervertir les caractéristiques ellipsométriques de l'émission et de la réception, c'est ce qui sera mis en lumière dans le chapitre sur l'ellipsométrie des couches minces.

Shurcliff, W. A., Polarized Light, (Harvard University Press, Cambridge, Mass., 1962 and 1966). C'est le livre qu'il faut avoir dans sa bibliothèque.

Muller, R. H., ``Definitions and Conventions in Ellipsometry,'' Surface Science, 16, 14-33 (1969).

Les articles de Jones :

- Hurwitz, H. Jr. and R. Clark Jones, ``A New Calculus for the Treatment of Optical Systems II. Proof of Three General Equivalence Theorems,'' Journal of the Optical Society of America, 31, 493-499 (1941).
- Jones, R. C., ``New Calculus for the Treatment of Optical Systems I. Description and Discussion of the Calculus,'' Journal of the Optical Society of America, 31, 488-493 (1941).
- Jones, R. C., ``New Calculus for the Treatment of Optical Systems III. The Shoncke Theory of Optical Activity,'' Journal of the Optical Society of America, 31, 500-503 (1941).
- Jones, R. Clark, ``A New Calculus for the Treatment of Optical Systems IV.,'' Journal of the Optical Society of America, 32, 486-493 (1942).
- Jones, R. Clark, ``A New Calculus for the Treatment of Optical Systems V. A More General Formulation and Description of Another Calculus,'' Journal of the Optical Society of America, 37, 107-110 (1947).
- Jones, R. Clark, ``A New Calculus for the Treatment of Optical Systems VI. Experimental Determination of the Matrix,'' Journal of the Optical Society of America, 37, 110-112 (1947).
- Jones, R. Clark, ``A New Calculus for the Treatment of Optical Systems VII. Properties of N-Matrices,'' Journal of the Optical Society of America, 38, 671-685 (1948).
- Jones, R. Clark, ``A New Calculus for the Treatment of Optical Systems VIII. Electromagnetic Theory,'' Journal of the Optical Society of America, 46, 126-131 (1956).

Wiener Norbert, "Coherency Matrices and Quantum Theory", Journal of Mathematics and Physics (M.I.T.), Vol. 7, pp. 109-125, 1927-1928.
Wolf, E., "Coherence Properties of Partially Polarized Electromagnetic Radiation", Il Nuovo Cimento, Vol. 13, pp. 1165-1181, 1959.
Mueller, H., "The foundations of optics", J. Opt. Soc. Amer. 38, 661, 1948.

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