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### V.2. Ellipsomètre à biréfringent tournant (programme FORTRAN inclu dans le fichier ellipf77.zip)

Il s'agit d'ellipsométrie des couches minces : les ellipsomètres employés pour la mesure d'épaisseurs de couches minces utilisent classiquement un polariseur, une lame biréfringente quart d'onde et un polariseur de sortie appelé analyseur. L'ellipsomètre à méthode de zéro réalise une extinction de lumière en tournant alternativement polariseur et analyseur jusqu'au minimum d'intensité, la lame quart d'onde reste fixe. Dans notre cas le polariseur et l'analyseur sont fixés au cours d'une phase de calibration et c'est la lame biréfringente (quart d'onde si possible) qui tourne ; les amplitudes et phases des harmoniques 2 et 4 sont mesurés pour extraire les paramètres ellipsométriques Psi et Delta issus du rapport des réflectances complexes du multicouche à mesurer (rp/rs=tan(Psi)exp(iDelta)) (cf. [AZZAM et al.]).
Il existe évidemment d'autres types d'ellipsomètres qui, souvent, s'appuient sur une modulation de la polarisation de la lumière incidente utilisant, par exemple, des modulateurs photoélastiques.

A partir de l'équation qui décrit le comportement des ellipsomètres à biréfringent tournant, il s'agit d'expliquer pratiquement les principes de réglage de l'appareil.
Les calculs polarimétriques s'appuient sur les matrices de Mueller et reprennent des résultats publiés [ROBERT et al.].

L'ellipsomètre à lame compensatrice tournante est constitué d'un faisceau de lumière monochromatique qui traverse successivement un polariseur orientable, (P) une lame compensatrice tournante (Bg), subit une réflexion sur l'échantillon (E) puis traverse un analyseur orientable (A) :

En comptant tous les angles dans le sens trigonométrique à partir du plan d'incidence l'intensité lumineuse reçue par la photodiode s'écrit comme multiplication de matrices :

|1 |
|cos(2P)|
[1,cos(2A),sin(2A),0]*E*R(2T)*Bg*R(-2T)* |sin(2P)|
|0 |

où :

- A est l'orientation de l'analyseur.
- E est la matrice de Mueller caractéristique de l'échantillon:

|tg2(Psi)+1 tg2(Psi)-1 0 0 |
|tg2(Psi)-1 tg2(Psi)+1 0 0 |
E = rs*rs*/2*|0 0 2tg(Psi)cos(Delta) -2tg(Psi)sin(Delta)|
|0 0 2tg(Psi)sin(Delta) 2tg(Psi)cos(Delta) |

- R(2T) est la matrice de MUELLER de rotation de l'angle T de la lame compensatrice Bg :

|1 0 0 0|
|0 cos(2T) -sin(2T) 0|
R(2T) = |0 sin(2T) cos(2T) 0|
|0 0 0 1|

- Bg est la matrice de MUELLER d'un élément polarisant généralisé qui s'écrit suivant le théorème de HURWITZ et JONES :

Bg = R(2e)*B(b)*R(2d)*POLP(p,q)*R(2c)*B(a)

où les matrices de MUELLER B et POLP sont caractéristiques respectivement de biréfringences et polarisations partielles :

|1 0 0 0 |
|0 1 0 0 |
B(a) = |0 0 cos(a) -sin(a)|
|0 0 sin(a) cos(a) |

|p2+q2 p2+q2 0 0 |
|p2+q2 p2+q2 0 0 |
POLP(p,q) = |0 0 2pq 0 |
|0 0 0 2pq |

- P est l'orientation du polariseur.

L'ellipsomètre à lame biréfringente tournante utilise les harmoniques 0, 2 et 4 du signal photométrique mesuré ; quand la lame biréfringente est parfaite les trois harmoniques utiles ont pour expression :

H0= (Rs/2)*((Tg(Psi)**2+1)+cos(2*A)*(Tg(Psi)**2-1) +cos(2*P)*(1+cos(b))*(Tg(Psi)**2-1)+cos(2*A)*(Tg(Psi)**2+1)/2 +sin(2*P)(1+cos(b))*sin(2*A)*tg(Psi)*cos(Delta))

H2=Rs*sin(2*A)*tg(Psi)*sin(Delta)*sin(b)*sin(2*(T+T0-P))

H4=(Rs/2) * ((Tg(Psi)**2-1)+cos(2*A)*(Tg(Psi)**2+1) * (1-cos(b)) *cos(4*(T+T0)-2*P)/2 + sin(2*A)*tg(Psi)*cos(Delta) *(1-cos(b)) *sin(4*(T+T0)-2*P))

où :

- .Rs est le coefficient de réflexion de l'échantillon pour la polarisation s.
- .Psi et Delta sont les angles ellipsométriques de l'échantillon définis par le rapport des réflectances complexes de celui-ci :

rp/rs=tg(Psi)*e(i*Delta)

- .b est la biréfringence de la lame tournante.
- .A est l'orientation de l'analyseur.
- .P est l'orientation du polariseur.
- .T+T0 est l'orientation de l'axe rapide de la lame biréfringente.
- .T0 est l'orientation du top zéro du codeur de la lame biréfringente.

N.B. Les orientations A, P, T+T0 et T0 sont comptées par rapport au plan d'incidence.

Psi et Delta sont calculés à partir de la mesure des harmoniques 2 et 4 ; l'harmonique 0 pourrait servir au calcul au moins comme contre-mesure mais cela reste à faire.

La mesure de Psi et Delta ne peut se faire qu'avec des informations sur les composantes p et s des réflectances complexes, c'est à dire pour une orientation A de l'analyseur différente de 0 ou 90 degrés.

L'orientation du polariseur P doit être connue avec précision et peut être choisie de préférence parallèle au coefficient Rp ou Rs le plus petit pour travailler avec l'harmonique 0 le plus petit possible (l'harmonique 0 limite la dynamique de numérisation des harmoniques 2 et 4) : ainsi, pour le couches minces de silice sur silicium où Psi est voisin de 10 degrés (à 632.8 nm) il est préférable de choisir P voisin de 0 degrés.

La calibration consiste à orienter approximativement l'analyseur à +/- 45° du plan d'incidence, et éventuellement le polariseur à 0° ou 90°. Quand l'opérateur est satisfait des valeurs approximatives obtenues (minimum de l'harmonique 2 puis décalage de l'analyseur d'environ +/-45°), le calculateur se charge de calculer précisément l'orientation des éléments fixés (polariseur, analyseur et top zéro du biréfringent tournant).

### Orientation de l'analyseur A

Dans le cas normal où la lame biréfringente présente un taux de polarisation négligeable l'harmonique H2 s'annule quand l'analyseur A est parallèle ou perpendiculaire au plan d'incidence (directions p ou s) ; en connaissant les coefficients de réflexion Rp et Rs de l'échantillon on trouve facilement alors en mesurant l'amplitude de l'harmonique H4 qui est proportionnel à Rp ou Rs si l'analyseur est en p ou s.

Pour A=0° on a :

H0=Rs*(tg(Psi)**2)*(1+cos(2*P)*(1+cos(b))/2)
H2=0
H4=Rs*(tg(Psi)**2)*(1-cos(b))*cos(4*(T+T0)-2*P)/2

Pour A=90° on a :

H0=Rs*(tg(Psi)**2)*(1-cos(2*P)*(1+cos(b))/2)
H2=0
H4=-Rs*(1-cos(b))*cos(4*(T+T0)-2*P)/2

### Orientation du polariseur P

Une fois l'analyseur en p ou s (H2=0) on oriente le polariseur P pour obtenir le minimum (polariseur croisé avec l'analyseur) ou le maximum (polariseur parallèle avec l'analyseur) de l'harmonique H0.

### Orientation du biréfringent tournant Q

Pour fixer les idées supposons l'analyseur A orienté suivant p (H2=0) et le polariseur P orienté suivant s (H0 minimum) on mesure alors la phase T4 de l'harmonique H4 ; on tourne alors l'analyseur pour le mettre hors du plan d'incidence (entre 55° et 65° typiquement) et on mesure la phase T2 de l'harmonique H2 de ces deux valeurs T4 et T2 on tire la valeur T0 de l'orientation de la lame tournante par rapport au plan d'incidence :

T0=(T2-T4-90°)/2 pour (A=45°, b=90°) ou (A=-45°, b=-90°)
T0=(T2-T4+90°)/2 pour (A=-45°, b=90°) ou (A=45°, b=-90°)
et :
P=T4/2+2*T0

N.B. Attention aux erreurs de signe dues aux sens de comptage
des orientations angulaires !

Pour A=0° on a :
H0=Rs*(tg(Psi)**2)*(1+cos(2*P)*(1+cos(b))/2)
H2=0
H4=Rs*(tg(Psi)**2)*(1-cos(b))*cos(4*(T+T0)-2*P)/2

Pour A=90° on a :
H0=Rs*(tg(Psi)**2)*(1-cos(2*P)*(1+cos(b))/2)
H2=0
H4=-Rs*(1-cos(b))*cos(4*(T+T0)-2*P)/2

Pour A /= 0°, 90° on a :
H2=Rs*sin(2*A)*tg(Psi)*sin(Delta)*sin(b)*sin(2*(T+T0-P))

L'expression T0=(T4-T2-90°)/2 vient de la mesure des phases de H4 pour A=0° et de H2 pour A=45°.

### Détermination exacte des positions ellipsométriques

Les mesures de phase précédentes des harmoniques 2 et 4 donnent une mesure précise de l'orientation du polariseur et du top zéro du biréfringent tournant.

La mesure de Psi et Delta est indépendante de l'orientation du polariseur, du top zéro et de l'analyseur.
C'est grâce à cette propriété qu'il est possible de calculer précisément l'orientation de l'analyseur.

En pratique, les paramètres de calibration s'appuient sur des mesures d'échantillons connus comme pour la plupart des ellipsomètres ; de toute façon, les contrôles de métrologie imposent de vérifier le bon fonctionnement des appareils avec des échantillons connus.

### Conclusion

Ce texte ne présente que le cas de l'ellipsomètre à biréfringent tournant mais il est aussi simple d'écrire les équations de tous les autres types d'ellipsomètres et de les comparer. L'ellipsométrie des couches minces date du siècle dernier avec P. Drude (Ann. d. Physik, 39 (1890)), ce qui en fait le renouveau depuis plus de 20 ans c'est à la fois l'industrie des semi-conducteurs et la puissance de calcul des micro-ordinateurs, la complexité des calculs fait qu'il est souhaitable d'accompagner l'enseignement de l'ellipsométrie d'une formation en informatique, pour mieux comprendre cette nécessité le lecteur peut étudier le programme joint qui donne Psi et Delta en fonction des harmoniques mesurés ou l'inverse. (sources et exécutables sous windows et linux dans le fichier ellipf77.zip)

### Bibliographie :

AZZAM (R. M. A.), BASHARA (N. M.), "Ellipsometry and Polarized Light", North-Holland Publishing Company, Amsterdam, New-York, Oxford, (1977).
ROBERT (A.), ROYER (J.), VAREILLE (A.) "Ellipsométrie. Etude des lames biréfringentes en rotation. Application à la mesure des formes de lumière polarisée", C. R. Acad. Sc. Paris, t. 284 (20 juin 1977).
HURWITZ (H.), JONES (Jr. C.), "A new calculus for the treatment of optical systems. II. Proof of three general equivalence theorems", J. Opt. Soc. Am. 31 (1941) 491-499.
RNGL : programme source écrit en FORTRAN 77 qui calcule les harmoniques de l'ellipsomètre à biréfringent tournant et traite le cas de la couche transparente sur substrat.

Nous sommes intéressés par toute proposition d'amélioration des méthodes de réglage :
aime.vareille@wanadoo.fr et pballet@spectro.ujf-grenoble.fr

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