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### IV.2. Interférométrie et Ellipsométrie

L'interféromètre d'Erikson n'est qu'un exemple de montage possible pour la mesure de distances : il se décompose en un interféromètre de recombinaison d'état de polarisation cohérent suivi d'un ellipsomètre.
A défaut d'examiner tous les montages interférométriques et ellipsométriques qui conviendraient, il est utile d'expliquer :

- Le réglage de la partie interférométrie de type Michelson.
- Les meilleures conditions de recombinaison polarisatoire.
- Les compromis entre vitesse et précision de mesure ellipsométrique.
- Les limites de la détermination de positions à grandes distances.

#### IV.2.1. Réglage des optiques

Dans un premier temps, il s'agit de positionner la lame quart d'onde Q1 du bras de référence de la partie ellipsométrique :

Pour fixer les idées le polariseur P polarise horizontalement (i.e. 0°) la lumière entrant dans la partie interférométrique.
Le rôle du bras de référence de l'interféromètre est de transformer la polarisation de la lumière incidente en polarisation émergente orthogonale à celle du bras principal pour recombiner, en sortie d'interféromètre, deux formes de polarisations orthogonales.
Dans le cas présent, la polarisation émergente verticale (orthogonale à l'horizontale réfléchie sur le bras principal) est obtenue simplement par l'usage d'une lame quart d'onde Q1 dont les lignes neutres sont orientées à 45° de l'horizontale.
le réglage est assez simple, il consiste à obturer le bras principal avec l'obturateur O pour ne recueillir que la lumière émergeant du bras de référence ; un polariseur horizontal A (i. e. analyseur) suffit à constater l'extinction de la lumière émergente quand la lame quart d'onde Q1 est convenablement orientée à 45° de l'horizontale.

La deuxième lame quart d'onde Q2 du montage relève déjà de la fonction ellipsométrique de l'appareil.
La lame quart d'onde Q2 est introduite dans le montage précédent et orientée pour conserver l'extinction par l'analyseur A : une des lignes neutres de Q2 est alors horizontale.
Pour transformer les polarisations recombinées en lumière linéairement polarisée d'orientation variable il suffit alors de tourner la lame Q2 de 45° pour qu'une de ses lignes neutres soit à 45° du plan de l'interféromètre (i.e. le plan que forme l'interféromètre est considéré présentement comme étant l'horizontale).
Une fois les lames quart d'onde Q1 et Q2 convenablement orientées l'obturateur O est évidemment retiré ou du moins ouvert ; il reste à positionner le miroir de référence pour ce trouver autour de l'égalité des chemins optiques dans la limite de la longueur de conhérence des sources de lumière utilisées.

#### IV.2.2. Interférences de lumière polarisée

Les meilleures conditions d'interférence de lumière polarisée sont obtenues pour une recombinaison de lumières cohérentes polarisées orthogonalement entre le bras principal et le bras de référence ; la qualité du dispositif quart d'onde Q1 et son positionnement sont donc importants, la sensibilité et la précision des mesures de distance en dépendent.
C'est l'analyseur A qui réalise en fait les interférences entre les lumières polarisées issues des 2 bras ; la lame quart d'onde Q2 sert à transformer les polarisations des 2 lumières émergentes en polarisations linéaires orthogonales.

#### IV.2.3. Alternatives ellipsométriques

Dès la sortie de l'interféromètre de type Michelson on peut théoriquement placer l'ellipsomètre que l'on veut :
Si l'objet à positionner bouge peu par rapport au dispositif de mesure, une méthode d'annulation de type Sénarmont comprenant typiquement la lame quart d'onde Q2 et l'analyseur A.
Si l'objet bouge ne serait-ce que d'un mètre par seconde, suivre 1012 picomètres par seconde est déjà en limite des systèmes informatisés actuels ; il y a donc un compromis entre la vitesse et la précision. Heureusement, il est souvent inutile de suivre les objets en permanence dans leurs déplacements à cause de leur quantité de mouvement qui régularise leur trajectoire et il suffit de savoir faire des mesures d'une durée de 10-12seconde toutes les fractions de seconde pour des vitesses de l'ordre du mètre pas seconde : c'est faisable avec les systèmes photométriques linéaires sur la base des mesures des paramètres de Stokes décrite précédemment.

### IV.3. Le picomètre sur des kilomètres

Une mesure de monochrmatique ellipsométrique ne donne les distances que modulo la longueur d'onde employée.

L'usage de deux longueurs d'ondes permet de lever l'indétermination dans un rapport égal à la longueur d'onde moyenne sur la différence des longueurs d'ondes : plus les distances à mesurer sont grandes plus les deux longueurs d'ondes doivent être proches :
Considérons la mesure d'une même distance D à 2 longueurs d'ondes L1 et L2 ; l'interféromètre donne les mesures r1 et r2 reliées à la distance D modulo des longueurs d'ondes :
D = k1 * L1 + r1 = k2 * L2 + r2
supposons que L1 et L2 sont voisinent et que la distande D soit telle les ordres k1 et k2 diffèrent d'une unité :
k2 = k1 + 1 = k + 1 soit :
D = k * L1 + r1 = (k +1) * L2 + r2
Considérons maintenant la distance D' correspondant à une différence d'ordre de 2 unités et les même mesures r1 et r2 interférométriques :
D' = k' * L1 + r1 = (k'+2) * L2 + r2
Soit d l'écart entre D et D', on obtient :
d = L1 * L2 / (L1 - L2)
Clairement, cela signifie que les mesures interférométriques bichromatiques ne peuvent déterminer les distances que modulo d = L1 * L2 / (L1 - L2).
Concrètement, considérons une longueur d'onde de 500 nm et une distance D de 1 km, la deuxième longueur d'onde employée pour une mesure sur un kilomètre devra être de 500 (1 - 2.5 * 10-16) nm ce qui est supérieur en résolution aux raies hyperfines des alcalins utilisés pour les horloges atomiques.

En conclusion, l'usage de 2 longueurs d'ondes ne permet pas actuellement de déterminer le picomètre sur un kilomètre.

Est-il possible d'aller plus loin avec davantage de longueurs d'ondes, et quelles valeurs faut-il choisir ?

Considérons 3 longueurs d'ondes L1, L2 et L3.
La première distance D qui donne la même mesure interférométrique nulle s'écrit si les mantisses des longueurs d'ondes sont premières entre elles :
D = k1 * L1 = k2 * L2 = k3 * L3
avec :
k1 = mantisse(L2) * mantisse(L3)
k2 = mantisse(L1) * mantisse(L3)
k3 = mantisse(L1) * mantisse(L2)
Pour fixer les idées, considérons les longueurs d'ondes de 300 nm, 500 nm et 700 nm de mantisses premières entre elles ; la distance D de détermination totale est de 5 * 7 * 300 nm soit 10,5 microns.
Pour les longueurs d'ondes 310 nm, 530 nm et 710 nm cette distance D est de 53 * 71 * 310 nm, soit 1,16653 mm.
Pour les longueurs d'ondes 311 nm, 541 nm et 719 nm cette distance D est de 719 * 541 * 311 nm, soit 0,12097247 m.
Pour les longueurs d'ondes 311.9 nm, 541.3 nm et 719.3 nm cette distance D est de 7193 * 5413 * 311.9 nm, soit 12,144048 m.
Pour les longueurs d'ondes 311.93 nm, 541.33 nm et 719.33 nm cette distance D est de 71933 * 54133 * 311.93 nm soit 1,21439 km.
Des finesses de raies de 0.01 nm sont techniquement accessibles : le picomètre sur le kilomètre semble atteignable avec simplement 3 longueurs d'ondes dont les mantisses sont premières entre elles à 10-6près. Malheureusement, les picomètres se perdent en route : le fait d'ajouter 71933*54133 (= 3,893949 109) fois 311.93 nm entraîne que les longueurs d'ondes doivent être connues à mieux que 10-15, ce qui nous ramène de fait à la même difficulté technique qu'avec 2 longueurs d'ondes pour la précision : c'est pas facile de dépasser le kilomètre en gardant une précision du picomètre, les longueurs de cohérence des lumières utilisées doivent être de l'ordre de grandeur de la distance mesurée (le kilomètre), ce qui requiert des lasers de grande stabilité. C'est plutôt le nombre de fois que l'on additionne les longueurs d'ondes qui donne la précision de définition des raies lumineuses : pour 1 millimètre, une longueur d'onde de 500 nanomètres doit être connue à mieux que 2 10-4picomètre.

L'applet Telem permet d'expérimenter le problème de détermination pour des mantisses inférieures à 105, l'algorithme explore la coïncidence des 3 mesures interférométriques modulo les longueurs d'ondes en partant de l'égalité de chemins (zéro) et simultanément devant et derrière l'image du miroir de référence (distances D positive et négative). Le test de coïncidence se fait à une valeur de tolérance dt près exprimée dans l'unité de distance choisie commune à toutes les valeurs homogènes à des distances exprimées dans l'applet (tout en nm ou en microns ...).

alt="Your browser understands the <APPLET> tag but isn't running the applet, for some reason." Your browser is completely ignoring the <APPLET> tag!

Le bouton "Theory" lance le calcul des restes r1, r2 et r3 qui correspondent à la distance théorique D modulo les longueurs d'ondes L1, L2 et L2 ; la distance D' est ensuite recalculée à partir des mesures r1, r2 et r3.
Le bouton "Mesure" lance le calcul de la distance D' à partir des mesures r1, r2 et r3 introduites dans les 3 fenêtres de la même ligne du bas.
Le bouton "go" lance le calcul pour des distances D, longueurs d'ondes L1, L2, L3 ou tolérance dt modifiées dans l'une des fenêtres de la ligne du haut en gardant l'option précédente "Theory" ou "Mesure" (e.g. si on a choisi l'option "Mesure" précédemment et que la distance D est modifiée, le clic sur "go" prend bien en compte la nouvelle distance théorique D mais ne fait le calcul qu'à partir des mesures r1, r2 et r3, il faut cliquer le coup suivant sur le bouton "Theory" pour que le calcul des restes r1, r2 et r3 puis la régression pour retrouver D' s'effectuent ...).

Bien que n'ayant pas besoin de mesurer des couches minces d'un kilomètre d'épaisseur, c'est cet algorithme (sans l'exploration des distances négatives) que nous utilisons pour nos ellipsomètres à 3 longueurs d'ondes en remplaçant les longueurs d'ondes par les périodes des couches transparentes à mesurer :
où "ni" est l'indice de réfraction de la couche à mesurer, il est recommandé de fixer ces indices "ni" pour extraire des mesures d'épaisseurs r1, r2 et r3 cohérentes permettant la levée d'indétermination ; l'angle d'incidence élevé au sinus joue ici un rôle similaire à la longueur d'onde et permet une levée d'indétermination sur la mesure des épaisseurs, c'est ce que permettent les ellipsomètres Woollam et Rudolph à angles d'incidences variables. La valeur choisie pour la tolérance intègre alors les erreurs du modèle de l'ellipsomètre (modèle théorique, valeurs de calibration et caractérisques des faisceaux lumineux (divergence, largeur de raie, taux de polarisation ...)), les erreurs de modèle multicouche (approximation d'interfaces, de rugosités, de gradients d'indices ...) et les erreurs de mesure : c'est très commode de pouvoir synthétiser toutes ces imperfections en un seul chiffre, en plus, le calcul est sûr (pourvu qu'on borne les itérations) et rustique.

Le source de l'applet : Telem.java

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